题目

已知反比例函数y＝

k

x

（k≠0）和一次函数y=-x-6．
（1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（-3，m），求m和k的值；
（2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点；
（3）当k=-2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断此时A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角？（只要求直接写出结论）

提问时间：2020-10-16

答案

（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（-3，m），
∴

m＝ −k 3 m＝−(−3)−6

，
解得

m＝−3 k＝9

．
∴m=-3，k=9；
（2）由联立方程组

y＝ k x (k≠0) y＝−x−6

，
有-x-6=

k

x

，即x²+6x+k=0．
要使两个函数的图象有两个不同的交点，须使方程x²+6x+k=0有两个不相等的实数根．
∴△=6²-4k=36-4k＞0，
解得k＜9，且k≠0．
∴当k＜9且k≠0时，这两个函数的图象有两个不同的交点；
（3）当k=-2时，-2在k的取值范围内，
此时函数y=−

2

x

的图象在第二、四象限内，
从而它与y=-x-6的两个交点A，B应分别在第二，四象限内，
此时∠AOB是钝角．

（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数，从而求得这两个函数的关系式；
（2）函数的图象有两个不同的交点，即两个解，用二次函数根的判别式可解；
（3）分析函数图象的性质，可顺利推出结论．

本题考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

考点点评：本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．