题目

如图，在直角梯形ABCD中，以B点为原点建立直角坐标系，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，AB=10，求直线AC的解析式；
（3）在（2）中的条件下，在直线AC上是否存在P点，使得△PAD的面积等于△ABE的面积？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-10-16

答案

（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
在△ADC和△AEC中

∠ADC＝∠AEC ∠ACD＝∠ACE AC＝AC

，
∴△ADC≌△AEC （AAS），
∴AD=AE；
（2）∵AD=8，DC=4，AB=10，
∴可得点C的坐标为（-6，8），A（-10，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，则

−6a+b＝8 −10a+b＝0

，
解得：

a＝2 b＝20

∴直线AC的解析式为：y=2x+20；

（3）存在，
理由：延长AD，在直线AC上取一点P，连接PD，过点P作△ADP的高h，
∵AD=AE=8，AB=10，
∴BE=6，
∴S_△ABE=

1

2

×6×8=24，
设△PAD的边AD上的高为h，
则由S_△PAD=S_△ABE得

1

2

×8×h＝24，
解得：h=6，
所以P的横坐标为-4或-16，
代入y=2x+20得：
y=2×（-4）+20=12，或y=2×（-16）+20=-12，
∴P点的纵坐标为12或-12，
所以P的坐标为（-4，12）或（-16，-12）．

（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ACB，进而得出△ADC≌△AEC，即可得出答案；
（2）首先由AD=8，DC=4，AB=10，得出C，A点坐标，进而得出直线AC的解析式；
（3）首先求出S_△ABE=

1

2

×6×8=24，设△PAD的边AD上的高为h，则由S_△PAD=S_△ABE得出h的值，进而得出P点横坐标，再代入y=2x+20得出纵坐标即可．

本题考点：一次函数综合题．

考点点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及函数图象上点的坐标特点以及全等三角形的判定与性质等知识，得出直线AC的解析式是解题关键．