题目

已知P（m，a）是抛物线y=ax²上的点，且点P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M．
①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；
②当b=4时，记△MOA的面积为S，求

1

s

提问时间：2020-10-16

答案

（1）m²a=a（a＞0），
m²=1（m＞0），
即m=1；

（2）当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立．
①b=2a，y=kx+2a，
P在直线上，则a=k+2a，即a=-k（k＜0）
则kx+2a=0，即x=-

2a

k

＝−

−2k

k

=2，
A（2，0）
-kx²=kx-2k⇒x²+x-2=0⇒（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a²=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x²
P（1，1）
故当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立；
②当b=4时，直线y=kx+b即为直线y=kx+4，
kx+4=0⇒x=-

4

k

又∵直线y=kx+4过点P（1，a），
∴k+4=a⇒k=a-4，
（a-4）x+4=ax²
即ax²-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=

4

4−a

•

16

a

•

1

2

=

32

4a−a2

1

S

=

1

8

a-

1

32

a²=-

1

32

（a-2）²+

1

8

，
∴当a=2时，

1

S

_max=

1

8

．