题目

求函数Y=X平方-AX+3,X属于{0,2}内的最大值和最小值,求过程

提问时间：2020-10-16

答案

y = x² - ax + 3 = (x - a/2)² + 3-a²/4
对称轴:x = a/2
分三种情况讨论
1.对称轴在[0,2]左侧或与y轴重合:
x = a/2 ≤ 0,a ≤ 0
此时,在[0,2]内为抛物线的右支的一部分,最小值 = f(0) = 3,最大值 = f(2) = 7- 2a
2.对称轴在[0,2]右侧或与x = 2重合:
x = a/2 ≥ 2,a ≥ 4
此时,在[0,2]内为抛物线的左支的一部分,最小值 = f(2) = 7-2a,最大值 = f(0) = 3
3.对称轴在(0,2)内
(i) x = a/2 = 1,a = 2
此时,抛物线在[0,2]内的部分关于x = 1对称,最小值 = f(1) = 1-2*1+3 = 2,
最大值 = f(0) = f(2) = 3
(ii) 0< x = a/2 < 1,0 < a < 2
此时,抛物线在[0,2]内的部分中,左支较少,右支较多
最小值 = f(a) = 3 - a²/4
最大值 = f(2) = 7-2a
(iii) 1 < x = a/2 < 2,2 < a < 4
此时,抛物线在[0,2]内的部分中,左支较多,右支较少
最小值 = f(a) = 3 - a²/4
最大值 = f(0) = 3