题目

已知函数f(x)=根号(a平方+b平方/4)cos(2x+π/6)+a ,(a>0,b>0),且f（x）的最大值为1+a,最小值为-1/2.
（1）求a,b的值.
（2）求函数f（x）的单调递增区间.

提问时间：2020-10-15

答案

已知函数f(x)=√[(a²+b²)/4]cos(2x+π/6)+a ,(a>0,b>0),且f（x）的最大值为1+a,最小值为-1/2.
(1)求a,b的值.
(2)求函数f（x）的单调递增区间.
(1).maxf(x)=f(-π/12)=√[(a²+b²)/4]+a=1+a,即有√(a²+b²)=2,a²+b²=4.(1)
minf(x)=f(5π/12+π/6)=-√[(a²+b²)/4]+a=-1/2,即有√(a²+b²)-2a=1,√(a²+b²）=2a+1,
a²+b²=4a²+4a+1,3a²+4a-b²+1=0.(2)
将b²=4-a²代入(2)式得：3a²+4a-(4-a²)+1=4a²+4a-3=(2a-1)(2a+3)=0,故得a₁=1/2；
a₂=-3/2(应舍去,因为若a=-3/2,则最大值1+a=1-3/2=-1/2=最小值,与题意不符).
即a=1/2,b=±√(4-1/4)=±(√15)/2
(2)单增区间：由-π/2+2kπ≦2x+π/6≦2kπ,得-2π/3+2kπ≦2x≦2kπ-π/6,
得单增区间为：-π/3+kπ≦x≦kπ-π/12.