题目

⑴,已知（a+b+c）的平方=3（ab+bc+ca）且a,b,c都是实数,求证a=b=c
⑵,如果a,b,k为有理数,且b=ak+c/k,求证一元二次方程ax的平方+bx+c=0的两根也是有理数

提问时间：2020-10-15

答案

（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c
b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c
b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c
b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c
b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数