题目

已知函数f（x）=（ax²-2x+1）•e^-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-15

答案

（ I）当a=1时，f（x）=（x²-2x+1）•e^-x，
f'（x）=（2x-2）•e^-x-（x²-2x+1）•e^-x=-（x-1）（x-3）•e^-x…（2分）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e^-3．…（5分）
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e^-x-（ax²-2x+1）•e^-x=-e^-x[ax²-2ax-2x+3]
令g（x）=ax²-2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）
②若a＞0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝

a+1

a

＞1，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（9分）
③若a＜0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当

g(−1)≥0 g(1)≥0

，即−

5

3

≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是−

5

3

≤a≤1．…（12分）

（I）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．（II）令导函数f′（x）=-（x-1）（x-3）•e-x≤0在x∈[-1，1]时恒成立即可求出a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．