题目

2a+b=2*√5 求a²+b²最小值?

提问时间：2020-10-15

答案

权方和不等式法：
a^2+b^2
＝(2a)^2/4+b^2/1
≥(2a+b)^2/(4+1)
＝(2√5)^2/5
＝4.
故所求最小值为：4.
还可用三角代换法：
设a＝√tcosθ,b＝√tsinθ.
则2a+b＝2√5
↔2√tcosθ+√tsinθ＝2√5
↔√t＝2√5/(2cosθ+sinθ)
↔√t＝2/sin(θ+φ) (tanφ＝2)
∴sin(θ+φ)＝1时,√t≥2.
∴a^2+b^2
＝(√tcosθ)^2+(√tsinθ)^2
＝t
≥4.
故所求最小值为：4.