题目
试找出由0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中,能被165整除的最大数和最小数(要求写出推理过程).
提问时间:2020-10-15
答案
∵165=3×5×11
∴此7位数必同时能被3,5,11整除,而0+1+2+3+4+5+6=21能被3整除,
∴排成的7位数只需能同时被11,5整除即可,
根据能被11整除的数的性质,设7位数奇位上的数字和为x,偶数位上的数字和为y,则
x-y是11的倍数而x-y与x+y的奇偶性相同,且x+y=21,
∴只有x-y=11或-11,即x=5,y=16或x=16,y=5
∵7位数能被5整除,
∴其末位数必为0或5,
当末位数必为0或5时,找不到4个数的和为5,
∴只有x=16,y=5,即该7位数的奇数位上的数字和为16,偶数位上的数字和为5,且其末位数必为5.
只有两组分法:
①、奇数位上的数字(1,4,6,5),偶数位上的数字(0,2,3)
②、奇数位上的数字(2,3,5,6)偶数位上的数字(0,1,4)
①中最大数和最小数分别为6342105和1042635;②中最大数和最小数分别为6431205和2031645
∴所求的最大数和最小数分别为6431205和1042635.
故答案为:6431205和1042635.
∴此7位数必同时能被3,5,11整除,而0+1+2+3+4+5+6=21能被3整除,
∴排成的7位数只需能同时被11,5整除即可,
根据能被11整除的数的性质,设7位数奇位上的数字和为x,偶数位上的数字和为y,则
x-y是11的倍数而x-y与x+y的奇偶性相同,且x+y=21,
∴只有x-y=11或-11,即x=5,y=16或x=16,y=5
∵7位数能被5整除,
∴其末位数必为0或5,
当末位数必为0或5时,找不到4个数的和为5,
∴只有x=16,y=5,即该7位数的奇数位上的数字和为16,偶数位上的数字和为5,且其末位数必为5.
只有两组分法:
①、奇数位上的数字(1,4,6,5),偶数位上的数字(0,2,3)
②、奇数位上的数字(2,3,5,6)偶数位上的数字(0,1,4)
①中最大数和最小数分别为6342105和1042635;②中最大数和最小数分别为6431205和2031645
∴所求的最大数和最小数分别为6431205和1042635.
故答案为:6431205和1042635.
举一反三
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