题目

已知椭圆c的离心率为根号3 /2,过椭圆C的焦点且垂直于X轴的直线被椭圆C截得
的线段长为1.（1）求椭圆C的方程 （2）过点M（m,0)做圆X^2+y^2=1的切线l交曲线C于A,B两点.试探究|AB|是否有最大值?若有,求出m

提问时间：2020-10-15

答案

e=√3/2
过椭圆C的焦点且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1
即点(c,1/2)在椭圆上
c²/a²+(1/4)/b²=1
c²/a²=3/4
∴b²=1
a²=4
椭圆方程是x²/4+y²=1
(2)
由题意知：
|m|≥1
当m＝1时,切线l的方程为x＝1
点A,B的坐标分别为(1,√3/2),(1,－√3/2)
此时,|AB|＝√3
当m＝－1时,同理可得|AB|＝√3
当|m|＞1时,设切线l的方程为y＝k(x－m)
由：
{y＝k(x－m)
{(x²/4)＋y²＝1
得：
(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
则由韦达定理,得：
x1＋x2＝8k²m/(1＋4k²)
x1•x2＝(4k²m²－4)/(1＋4k²)
又l与圆x²＋y²＝1相切,得：
|km|/√(k²＋1)＝1
即m²k²＝k²＋1
∴|AB|＝√[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
＝√(1＋k²)[(x1＋x2)²－4x1x2]
＝√(1＋k²)[ [64k⁴m²/(1＋4k²)²]－[4(4k²m²－4)/(1＋4k²)] ]
＝(4√3|m|)/(m²＋3)
由于当m＝±1时,|AB|＝√3
∴|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3),m∈(－∞,－1]∪[1,＋∞)
∵|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3)＝4√3/[ |m|＋(3/|m|) ] ≤2
且当m＝±√3时,|AB|＝2
∴|AB|的最大值为2