题目

解不等式|3^x-1|+|9^x-3|>2

提问时间：2020-10-15

答案

3^x恒>0
分5种情况讨论：
(1)
3^x<1时,9^x<1
|3^x-1|+|9^x-3|=1-3^x+3-9^x>2
整理,得
(3^x)²+3^x-2<0
(3^x+2)(3^x-1)<0
-2<3^x<1
0<3^x<1
x<0
(2)
3^x=1时,即x=0时,
|3^x-1|+|9^x-3|=1-1+3-1=2,不满足题意,舍去.
(3)
1<3^x<√3时,3^x>0 1-3^x<0
|3^x-1|+|9^x-3|=3^x-1+3-9^x>2
整理,得
3^x(1-3^x)>0
不等式无解.
(4)
3^x=√3时,即x=1/2时
|3^x-1|+|9^x-3|=√3-1<2,不满足题意,不等式无解.
(5)
3^x>√3时,即x>1/2时
|3^x-1|+|9^x-3|=3^x-1+9^x-3>2
整理,得
(3^x)^2+3^x-6>0
(3^x+3)(3^x-2)>0
3^x>2或3^x<-3(舍去)
x>9
综上,得x<0或x>9
不等式的解集为(-∞,0)U(9,+∞)