题目

求微分方程的特解 dy/dx+y/x=sinx/x x=3.14就是派 那个 y=1

提问时间：2020-10-15

答案

求微分方程的特解 dy/dx+y/x=(sinx)/x , x=π时 y=1
这是一个一阶齐次线性微分方程.为了求这方程的解,先考虑方程：
dy/dx+y/x=0
分离变量得 dy/y+dx/x=0
积分之得 lny=-lnx+lnC₁=lnC₁+ln(1/x)=ln(C₁/X), 故y=C₁/x, 其中C₁为任意常数.
下面再求原方程的通解.为此把C₁换成x的函数u而令 y=u/x
于是dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原方程得：
[x(du/dx)-u]/x²+u/x²=(sinx)/x
x(du/dx)=xsinx
du/dx=sinx, du=sinxdx, 故u=∫sinxdx=-cosx+C
其中 u=xy, 故 xy=-cosx+C, ∴y=(-cosx+C)/x
当x=π时y=1,代入之,便得 1=(-cosπ+C)/π＝（1+C)/π, 故C=π-1
∴原方程的特解为：y=(-cosx+π-1)/x.