题目

已知二次函数f(x)满足f(-2)=0,且2x≤f(x)≤(x2+4)/2对一切实数都成立
(1)求f(2)的值；（2）求f(x)的解析式 用基本不等式解答

提问时间：2020-10-14

答案

设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),则f(-2)=a×(-2)²+b×(-2)+c=0,可得4a+c=2b①
由f(x)≥2x,得ax²+bx+c≥2x,即ax²+(b-2)x+c≥0,此不等式对一切实数x都成立,则
a＞0且(b-2)²-4ac≤0,可得b²-4ac≤4b-4②
由f(x)≤(x²+4)/2,得ax²+bx+c≤(x²+4)/2,即(2a-1)x²+2bx+2c-4≤0,此不等式对一切实数x都成立,则
2a-1＜0且(2b)²-4(2a-1)(2c-4)≤0,可得b²-4ac+2(4a+c)-4≤0③
①代入③得b²-4ac+4b-4≤0,即b²-4ac≤-(4b-4)④
②+④得2(b²-4ac)≤0,即b²-4ac≤0
又因为f(-2)=0,即二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴有交点(-2,0),所以b²-4ac=0⑤
所以二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴有且仅有一个交点,即(-2,0),也是顶点
故-b/(2a)=-2⑥
⑤代入②得4b-4≥0
⑤代入④得-(4b-4)≥0,即4b-4≤0
所以4b-4=0,可得b=1
代入⑥得-1/(2a)=-2,解得a=1/4
把a=1/4,b=1代入①得4×1/4+c=2×1,解得c=1
所以f(x)的解析式为f(x)=1/4x²+x+1
f(2)=1/4×2²+2+1=4．