题目

过椭圆x^2/4+y^2=1的焦点F作弦AB,求三角形AOB(O是坐标原点)面积的最大值.
求详解

提问时间：2020-10-14

答案

椭圆x^2/4+y^2=1,a=2,b=1,c=√3
F1(-√3,0),F2(√3,0)
设椭圆弦AB过F1
直线AB:y=k(x+√3),x=(y-√3k)/k
x^2/4+y^2=1
x^2+4y^2=4
[(y-√3k)/k]^2+4y^2=4
(1+4k^2)y^2-2√3ky-k^2=0
△=(-2√3k)^2-4*(1+4k^2)*(-k^2)=16k^2*(1+k^2)
设yA>yB
yA-yB=√[16k^2*(1+k^2)/(1+4k^2)]
设三角形AOB(O是坐标原点)面积=S,则
S=OF1*(yA-yB)/2=0.5√3*√[16k^2*(1+k^2)]/(1+4k^2)
(16S^2-12)k^4+(8S^2-12)k^2+S^2=0
(1)AB⊥X轴
x=-√3
yA-yB=1
S=√3*1/2=√3/2
(2)AB不⊥X轴
未知k^2的方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
[(8S^2-12)]^2-4*(16S^2-12)*S^2≥0
S^2≤1
可知三角形AOB(O是坐标原点)面积的最大值=1