题目

证明：关于x的方程xn+px+q=0（n为正整数,p,q为实数）,当n为偶数时至多有两个实根,当n为奇数至多有三个
如题!有重谢…

提问时间：2020-10-14

答案

结论是不对的,比如p=q=0的时候有n个实根,因为习惯上多项式的根是要计重数的,所以需要适当修正一下：
当n为偶数时至多有两个 不同的 实根,当n为奇数至多有三个 不同的 实根.
首先,若f(x)=x^n+px+q至少有四个不同的实根,利用两次Rolle定理可得f''(x)至少有两个不同的实根,但是f''(x)=n(n-1)x^{n-2}只有x=0一个零点,矛盾.
当n是偶数时,若f(x)至少有三个不同的实根,用一次Rolle定理得f'(x)至少有两个不同的实根,然而f'(x)=nx^{n-1}+p单调,最多只有一个零点,矛盾.