题目

x的3次方+1初以x方+1的平方的不定积分
{x3(x的3次方)+1}/{x2(x的2次方)+1}2 (x2(x的2次方)+1 的平方) 的不定积分

提问时间：2020-10-13

答案

帮你算一下,分开算比较简单
第一步,
∫x^3dx/(x^2+1)^2
=1/2 * ∫x^2d(x^2+1)/(x^2+1)^2 (拿进去一个x,凑(x^2+1）项)
=1/2 * ∫[(x^2+1)-1]d(x^2+1)/(x^2+1)^2 （分母凑(x^2+1）项）
=1/2 * {∫d（x^2+1）/(x^2+1) - ∫d(x^2+1)/(x^2+1)^2 } （拆开分母）
=1/2 * [ln(x^2+1) + 1/(x^2+1)] + C
第二步,
∫dx/(x^2+1)^2 （令x=tant换元）
=∫(sect)^2dt/(sect)^4
=∫dt/(sect)^2 = ∫(cost)^2dt (这个不用多说了吧)
=t/2 + sin2t/4 + C = arctanx/2 + x/[2(x^2+1)] + C
所以,
∫（x^3+1）dx/(x^2+1)^2
=1/2 * [ln(x^2+1) + (x+1)/(x^2+1) + arctanx ] + C
PS,楼主考虑打字这么麻烦可以追加一些分,知识是无价的么,