题目
已知抛物线C:y2(方)=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交于A.B两点,点A关于X轴的对称点为D.证明,1.点F在直线BD上 2.设(向量)FA•(向量)FB=8/9.求⊿BDK的内切圆M的方程.
提问时间:2020-10-13
答案
抛物线C:y^2=4x①的焦点为F(1,0),
设过点K(-1,0)的直线L:x=my-1,
代入①,整理得
y^2-4my+4=0,
设L与C 的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4m,y1y2=4,
点A关于X轴的对称点D为(x1,-y1).
1.BD的斜率k1=(y2+y1)/(x2-x1)=4m/[m(y2-y1)]=4/(y2-y1),
BF的斜率k2=y2/(x2-1).
k1=k2<==>4(x2-1)=y2(y2-y1),<==>4x2=y2^2,
上式成立,∴k1=k2,∴点F在直线BD上.
2.向量FA*FB=(x1-1,y1)*(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2
=(m^2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=4(m^2+1)-8m^2+4=8-4m^2=8/9,
∴m^2=16/9,m=土4/3.
取y2-y1=√(16m^2-16)=4√(m^2-1)=(4/3)√7,
∴k1=3/√7,BD:y=(3/√7)(x-1).
易知圆心M在x轴上,设为(a,0),M到x=(4/3)y-1和到BD的距离相等,即
|a+1|/(5/3)=|(3/√7)(a-1)|/(4/√7),
∴4|a+1|=5|a-1|,-1解得a=1/9.
∴半径r=2/3,
∴⊿BDK的内切圆M的方程为(x-1/9)^2+y^2=4/9.
设过点K(-1,0)的直线L:x=my-1,
代入①,整理得
y^2-4my+4=0,
设L与C 的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4m,y1y2=4,
点A关于X轴的对称点D为(x1,-y1).
1.BD的斜率k1=(y2+y1)/(x2-x1)=4m/[m(y2-y1)]=4/(y2-y1),
BF的斜率k2=y2/(x2-1).
k1=k2<==>4(x2-1)=y2(y2-y1),<==>4x2=y2^2,
上式成立,∴k1=k2,∴点F在直线BD上.
2.向量FA*FB=(x1-1,y1)*(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2
=(m^2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=4(m^2+1)-8m^2+4=8-4m^2=8/9,
∴m^2=16/9,m=土4/3.
取y2-y1=√(16m^2-16)=4√(m^2-1)=(4/3)√7,
∴k1=3/√7,BD:y=(3/√7)(x-1).
易知圆心M在x轴上,设为(a,0),M到x=(4/3)y-1和到BD的距离相等,即
|a+1|/(5/3)=|(3/√7)(a-1)|/(4/√7),
∴4|a+1|=5|a-1|,-1解得a=1/9.
∴半径r=2/3,
∴⊿BDK的内切圆M的方程为(x-1/9)^2+y^2=4/9.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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