题目

求文档:正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴
正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴负半轴上,AB交y轴负半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,抛物线y=ax²+bx-4过A.D.F三点（1）求抛物线解析式；（2）Q是抛物线上D.F间的一点,过点Q作平行线于x轴的直线交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM=1.5S三角形FQN,判断四边形AFQM形状；（3）在射线DB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且AP=PH,若存在,请给予严格证明

提问时间：2020-10-13

答案

(1)依条件有 D (0,-4) ,E (0,.1)
由 △OEA ∽△ ADO 知 OA = OE*OD = 4 .
∴ A(2,0) 由 Rt△ ADE ≌ Rt△ ABF 得 DE = AF
∴ F ( 3,0) .
将 A,F 的坐标代入抛物线方程,
得 4a + 2b 4 = 0
9a -3b- 4 = 0
解得a=2/3
b=2/3
∴抛物线的解析式为……..
(2)设 QM = m ,S四边形AFQM = ( m + 5)*| yQ | ,S△ FQN = (5- m)*| yQ | .
∴ ( m + 5)*| yQ |= 3/2(5- m)*| yQ | m = 1
设 Q ( a,b) ,则 M ( a + 1,b)
∴ b=2/3x²+2/a*a-4
B=2(a+1)-4
∴ a = -1 (舍去 a = 3 )
此时点 M 与点 D 重合,QF = AM ,AF > QM ,AF ‖ QM ,
则 AFQM 为等腰梯形.
(3)在射线 DB 上存在一点 P ,在射线 CB 上存在一点 H .
使得 AP ⊥ PH ,且 AP = PH 成立,证明如下:
当 点 P 如图① 所示位 置时,不妨设 PA = PH ,过点 P 作 PQ ⊥ BC ,PM ⊥ CD ,PN ⊥ AD ,垂足分别为 Q,M ,N .
若 PA = PH .由 PM = PN 得:
AN=PQ ,∴ Rt△PQH ≌ Rt△ APN
∴∠HPQ = ∠PAN .
又 ∠PAN + ∠APN = 90°
∴∠APN + ∠HPQ = 90°
∴ AP ⊥ PH .
当点 P 在如图②所示位置时,
过点 P 作 PM ⊥ BC ,PN ⊥ AB ,
垂足分别为 M ,N .
同理可证 Rt△PMH ≌ Rt△PAN .
∠MHP = ∠NAP .
又 ∠MHP = ∠HPN ,
∠HPA = ∠NPA + ∠HPN = ∠MHP + ∠HPM = 90° ,
∴ PH ⊥ PA .
当 P 在如图③所示位置时,
过点 P 作 PN ⊥ BH ,垂足为 N ,PM ⊥ AB 延长线,垂足为 M.
同理可证 Rt△PHM ≌ Rt△PMA .
∴ PH ⊥ PA .