题目

已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)证明抛物线C在点N处的切线与AB平行.
(2)是否存在实数k,使向量NA乘以向量NB=0?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-10-13

答案

(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1＞x2（点A在点B右侧）
将y=kx+2代入y=2x²,整理得
2x²-kx-2=0
∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.
∵M是线段AB的中点,M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x轴
∴N的横坐标为k/4
对函数y=2x²求导,得 y'=4x
所以,抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k
故 抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等
即 抛物线C在点N处的切线于AB平行 .
(2)假设存在这样的k
设N(x0,y0）,由第一问得x0=k/4,y0=2x0²=k²/8.
∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①
又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4,y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4
所以,可将①式整理为
k^4+12k²-64=0
解得k²=4或k²=-16(舍)
故存在k=±2满足题意.