题目

求边长为整数,且面积等于周长的直角三角形的三边长

提问时间：2020-10-13

答案

设三角形的最短的边为x（x为整数）,另一个直角边为kx（k大于等于1）,斜边为x（1+k^2）^1/2 注：^1/2为1/2次方,k^2为k的平方
由题意得：0.5kx^2=[1+k+（1+k^2）^1/2 ]x
解出 x=2+2[1+（1+k^2）^1/2]/k
令 [1+（1+k^2）^1/2]/k=t,
由于x为整数,所以t的取值为 0,1/2,2/2,3/2,4/2,5/2……
解出k=t/（t^2-1）,由题意k大于等于1,
即t/（t^2-1）大于等于1,验证得知t=3/2,4/2满足题意,t大于4/2时k小于1,t小于3/2时k无解,
由t的值代入可解出k=12/5,4/3
当k=12/5时,三角形的三边为 x 12x/5 13x/5
得出三角形为 5,12,13,满足题意
由于面积和边长成平方关系,周长和边长成线性关系,所以这个三角形的三边的长度值是唯一的
同理,k=4/3 时,可得出一个三角形 6,8,10,这个三角形的三边在满足k的比例关系时,三边的边长也是唯一的