题目

为了求1+2+2²+2³+…+2^2010的值,可令S=1+2+2²+2³+…2^2010,
则2S=2+2²+2³+2^4+…2^2011,因此2S-S=2^2011-1,
所以1+2+2²+2³+…+2^2011=2^2011-1.仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5^2011的值是_____.

提问时间：2020-10-13

答案

为了求1+2+2²+2³+…+2^2010的值,可令S=1+2+2²+2³+…2^2010,
则2S=2+2²+2³+2^4+…2^2011,
因此
2S-S=2^2011-1,
S(2-1)=2^2011-1
S=(2^2011-1)/(2-1)
所以1+2+2²+2³+…+2^2011=2^2011-1.仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5^2011的值是_____.
1+5+5²+5³+…+5^2011=(5^2012-1)/(5-1)
Sn=1+q+q²+q³+…+q^n
qSn=q+q²+q³+…+q^(n+1)
qSn-Sn=q^(n+1)-1
(q-1)Sn=q^(n+1)-1
Sn=[q^(n+1)-1]/(q-1)
q=2 n=2010
S2010=1+2+2²+2³+…+2^2010==(2^2011-1)/(2-1)=(2^2011-1)
q=5 n=2011
S2011=1+5+5²+5³+…+5^2011=(5^2012-1)/(5-1) =(5^2012-1)/4