题目

如图1，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴于C．

①求△ABC的面积．
②如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连接EA．求直线EA的解析式．
③点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，试判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明．

提问时间：2020-10-13

答案

①求△ABC的面积=36；

②过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H．
∵△BDE为等腰直角三角形
∴DE=DB，∠BDE=90°
∵∠BDE=90°
∴∠EDF+∠BDO=90°
∵∠BOD=90°
∴∠BDO+∠DBO=90°
∴∠EDF=∠DBO﹙同角的余角相等﹚
∵EF⊥X轴
∴∠BOF=∠EFD=90°
在△DEF与△BDO中
∠EDF=∠DBO
∠BOF=∠EFD
DE=DB
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴DF=BO=AO，EF=OD；
∴AF=EF，
∴∠EAF=45°，
∴△AOH为等腰直角三角形．
∴OA=OH，
∴H（0，-6）
∴直线EA的解析式为：y=-x-6；
③在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N′之间线段的长．
当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长．∠OAE=30°，OA=6，
所以OM+NM的值为3．