题目

已知函数f（x）=log₂（2^x+1），g（x）=log₂（2^x-1），若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点，求m的取值范围．

提问时间：2020-10-13

答案

若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点，
即F（x）=g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，
即-m=f（x）-g（x）=log₂（2^x+1）-log₂（2^x-1），在[1，2]上有解，
设m（x）=log₂（

2x+1

2x-1

）=log₂（

2x-1+2

2x-1

）=log₂（1+

2

2x-1

），
当x∈[1，2]时，y=1+

2

2x-1

单调递减，则根据复合函数单调性之间的关系可知m（x）=log₂（1+

2

2x-1

）单调递减，
则m（2）≤m（x）≤m（1），
即log₂

4

3

≤m（x）≤log₂3，
则log₂

4

3

≤-m≤log₂3，
即-log₂3≤m≤-log₂

4

3

故m的取值范围是[-log₂3，-log₂

4

3

]．