题目

已知函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

提问时间：2020-10-12

答案

（I）∵f （x ）=x² （ax+b ）=ax³+bx²，
∴f'（x ）=3ax²+2bx，
∵函数f （x ）在x=2时有极值，
∴f'（2 ）=0，即 12a+4b=0，①
∵函数f （x ）的图象在点（1，f （1 ））处的切线与直线3x+y=0平行．
∴f'（1 ）=-3，即3a+2b=-3，②
由①②解得，a=1，b=-3．
经验证满足题意，∴a=1，b=-3．
（II）f'（x ）=3x²-6x=3x （x-2），令3x （x-2）＞0，
解得：x＜0或x＞2，
令3x （x-2）＜0，解得：0＜x＜2．
∴函数f （x ）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．

（I）利用函数取得极值的必要条件和导数的几何意义可得f′（2）=0，f′（1）=-3，解出a，b并验证即可；
（II）分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其单调区间．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及其几何意义等是解题的关键．