题目
如图,P 是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC.若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心,试证:OQ⊥平面PBC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f07084dc0afb1ea24b899a801f2be.jpg)
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提问时间:2020-10-12
答案
证明:∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC,根据三垂线定理得BC⊥PE.
∴BC⊥平面PAE.∵Q是△PBC的垂心,故Q在PE上,则OQ⊂平面PAE,∴OQ⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BF⊂平面ABC,∴BF⊥PA,又∵O是△ABC的垂心,
∴BF⊥AC,故BF⊥平面PAC.因而FM是BM在平面PAC内的射影.
因为BM⊥PC,据三垂线定理的逆定理,FM⊥PC,
从而PC⊥平面BFM.又OQ⊂平面BFM,所以OQ⊥PC.
综上知OQ⊥BC,OQ⊥PC,
所以OQ⊥平面PBC.
∴BC⊥平面PAE.∵Q是△PBC的垂心,故Q在PE上,则OQ⊂平面PAE,∴OQ⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BF⊂平面ABC,∴BF⊥PA,又∵O是△ABC的垂心,
∴BF⊥AC,故BF⊥平面PAC.因而FM是BM在平面PAC内的射影.
因为BM⊥PC,据三垂线定理的逆定理,FM⊥PC,
从而PC⊥平面BFM.又OQ⊂平面BFM,所以OQ⊥PC.
综上知OQ⊥BC,OQ⊥PC,
所以OQ⊥平面PBC.
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