题目

已知圆C:x^2+y^2-2x-4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于A,B,求三角形ABC面积最大时圆的方程
1.求三角形ABC面积最大时L的方程
2.若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围

提问时间：2020-10-12

答案

设 L 方程为 y=x+b .圆方程化为 (x-1)^2+(y-2)^2=9 .
（1）圆心到直线距离为 d=|1+b-2|/√2 ,弦长为 |AB|=2√(9-d^2)=√[36-2(b-1)^2] ,
所以 SABC=1/2*|AB|*d=1/2*|b-1|/√2*√[36-2(b-1)^2] ,
由均值不等式,(√2*|b-1|)*√[36-2(b-1)^2]0 ,（1）
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2=3-b ,x1*x2=(b^2-4b-4)/2 ,
所以 y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b^2 ,
因为 O 在以 AB 为直径的圆内 ,
所以 x1x2+y1y2