题目
关于x的函数Y=2cos²x-2acosx-2a-1的最小值为f(a) 写出f(a)的表达式
提问时间:2020-10-12
答案
令cosx=z.则:y=2z^2-2az-2a-1.(-1≤z≤1).对称轴z=a/2.
1.当a/2<-1时;
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调上升,所以最小为y(-1).
即:f(a)=y(-1)=2+2a-2a-1=1.
2.当-1≤a/2≤1时;
y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1的最小为z=a/2.
即:f(a)=y(a/2)=(8*(-2a-1)-(-2a)^2)/8=-0.5a^2-2a-1
3.当a/2>1时;
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调下降,所以最小为y(1).
即:f(a)=y(1)=2-2a-2a-1=-4a+1.
所以f(a)是一个分段函数,表示为:
1.a<-2,f(a)=1;
2.-2≤a≤2,f(a)=-0.5a^2-2a-1;
3.a>2,f(a)=-4a+1.
1.当a/2<-1时;
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调上升,所以最小为y(-1).
即:f(a)=y(-1)=2+2a-2a-1=1.
2.当-1≤a/2≤1时;
y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1的最小为z=a/2.
即:f(a)=y(a/2)=(8*(-2a-1)-(-2a)^2)/8=-0.5a^2-2a-1
3.当a/2>1时;
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调下降,所以最小为y(1).
即:f(a)=y(1)=2-2a-2a-1=-4a+1.
所以f(a)是一个分段函数,表示为:
1.a<-2,f(a)=1;
2.-2≤a≤2,f(a)=-0.5a^2-2a-1;
3.a>2,f(a)=-4a+1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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