题目

求函数y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

提问时间：2020-10-12

答案

y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）．
故该函数的最小正周期是π；最小值是-2；单调递增区间是[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．

先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及两角差的余弦，化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，最小值以及函数的单调增区间．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性；三角函数的最值．

考点点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的单调性，三角函数的最值，把三角函数式化简为y=Asin（ωx+φ）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法．