题目

已知函数f(x)=根号3sinxcosx+cos2x+1
已知函数f(x)=根号sinxcosx+cos2x+1 （1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间
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提问时间：2020-10-12

答案

f(x)=(√3)sinxcosx+cos2x+1
f(x)=(√3)(2sinxcosx)/2+cos2x+1
f(x)=(√3/2)sin2x+cos2x+1
f(x)=(√7/2)[(√3/2)(2/√7)sin2x+(2/√7)cos2x]+1
f(x)=(√7/2)[(√3/√7)sin2x+(2/√7)cos2x]+1
令：√3/√7=cosα,则：2/√7=sinα,代入f(x),有：
f(x)=(√7/2)(cosαsin2x+sinαcos2x)+1
f(x)=(√7/2)sin(2x+α)+1
1、最小正周期：
2π/2=π
2、单调递减区间：
f(x)=(√7/2)sin(2x+α)+1
f'(x)=(√7)cos(2x+α)
令：f'(x)＜0,即：(√7)cos(2x+α)＜0,
整理,有：cos(2x+α)＜0
解得：kπ+(π-2α)/4＜x＜kπ+(3π-2α)/4
f(x)的单调减区间是：x∈(kπ+(π-2α)/4,kπ+(3π-2α)/4),
其中：k=0、±1、±2、……；αarcsin(2/√7)=arcsin(2√7/7).