题目
计算:不定积分∫1/[(1+2x)(1+x^2)]dx 定积分∫ (x-2) √(4-x^2)dx (上限2,下限-2)
提问时间:2020-10-11
答案
待定系数法:
1/[(1 + 2x)(1 + x^2)] = a/(1 + 2x) + (bx + c)/(1 + x^2)
1 = a(1 + x^2) + (bx + c)(1 + 2x)
当x = -1/2,1 = 1.25a => a = 4/5
当x = 0,1 = 4/5 + c => c = 1/5
当x = 1,1 = 8/5 + (b + 1/5)(3) => b = -2/5
∫ dx/[(1 + 2x)(1 + x^2)]
= (4/5)∫ dx/(1 + 2x) - (2/5)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/5)∫ dx/(1 + x^2)
= (4/5)(1/2)ln|1 + 2x| - (2/5)(1/2)ln(1 + x^2) + (1/5)arctan(x) + C
= (2/5)ln|1 + 2x| - (1/5)ln(1 + x^2) + (1/5)arctan(x) + C
__________________________________________________________
∫(-2到2) (x - 2)√(4 - x^2) dx
= ∫(-2到2) x√(4 - x^2) dx - 2∫(-2到2) √(4 - x^2) dx
= 0 - 4∫(0到2) √(4 - x^2) dx
用几何意义解比较快速
表示的圆是x^2 + y^2 = 4,半径为2,
范围由-2到2表示半圆面积
范围由0到2表示1/4的圆面积
= π(2)² * 1/4 = π
所以定积分 = -4(π) = -4π
方法二:用第二类换元法,用代换x = 2sinθ即可.
1/[(1 + 2x)(1 + x^2)] = a/(1 + 2x) + (bx + c)/(1 + x^2)
1 = a(1 + x^2) + (bx + c)(1 + 2x)
当x = -1/2,1 = 1.25a => a = 4/5
当x = 0,1 = 4/5 + c => c = 1/5
当x = 1,1 = 8/5 + (b + 1/5)(3) => b = -2/5
∫ dx/[(1 + 2x)(1 + x^2)]
= (4/5)∫ dx/(1 + 2x) - (2/5)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/5)∫ dx/(1 + x^2)
= (4/5)(1/2)ln|1 + 2x| - (2/5)(1/2)ln(1 + x^2) + (1/5)arctan(x) + C
= (2/5)ln|1 + 2x| - (1/5)ln(1 + x^2) + (1/5)arctan(x) + C
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∫(-2到2) (x - 2)√(4 - x^2) dx
= ∫(-2到2) x√(4 - x^2) dx - 2∫(-2到2) √(4 - x^2) dx
= 0 - 4∫(0到2) √(4 - x^2) dx
用几何意义解比较快速
表示的圆是x^2 + y^2 = 4,半径为2,
范围由-2到2表示半圆面积
范围由0到2表示1/4的圆面积
= π(2)² * 1/4 = π
所以定积分 = -4(π) = -4π
方法二:用第二类换元法,用代换x = 2sinθ即可.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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