题目

求满足方程（x²+y²）（x+y-3）=2xy的全部整数对．

提问时间：2020-10-11

答案

x+y只能为整数．
（1）若x+y≥4，则 2xy=（x²+y²）（x+y-3）＞0，
只能x＞0，y＞0．
此时，若x+y＞4，则（x²+y²）（x+y-3）＞x²+y²≥2xy，原方程无整数解．
只能x+y=4，此时2xy=x²+y²，0=（x-y）²，x=y=2．
因此x+y≥4时，x=y=2是一组整数解．
（2）0＜x+y≤2，2xy=（x²+y²）（x+y-3）＜0，
只能xy＜0．
此时，若0＜x+y＜2，0＞-x-y＞-2，3-x-y＞1，则（3-x-y）（x²+y²）＞x²+y²≥2|xy|=-2xy，原方程无整数解．
只能x+y=2，此时2xy=-（x²+y²），0=（x+y）²与 4=2²=（x+y）²矛盾．
因此0＜x+y≤2时，原方程无整数解．
（3）x+y=3时，2xy=0，
只能x，y中至少一个为0．
原方程的整数解为x=0，y=3或x=3，y=0．
（4）x+y=0时，x²=y²，
2xy=-2x²=（x²+y²）（-3）=-6x²，0=4x²，0=x=y．
原方程的整数解为x=y=0．
（5）x+y＜0时，2xy=（x²+y²）（x+y-3）＜0，
只能xy＜0．
此时，-x-y＞0，3-x-y＞3，（3-x-y）（x²+y²）＞x²+y²＞=2|xy|=-2xy，原方程无整数解．
综上所述，原方程的整数解为x=y=2；x=y=0；x=0，y=3；x=3，y=0．一共4组．