题目

两角和与差的公式,

提问时间：2020-10-11

答案

如上图所示,这是一个半径为 1 的单位圆.
AB^2=OA^2 + OB^2 - 2*OA * OB * cos(α-β) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(α-β) = 2 - 2 *cos(α-β)
根据勾股定理,
AB^2 = DE^2 + CF^2
         = (OD - OE)^2 + (OF + OC)^2
         = (OA * sinα - OB * sinβ) ^2 + (OB * cosβ - OA * cosα)^2
         = (sinα - sinβ) ^2 + (cosβ - cosα)^2
         = (sinα)^2 + (sinβ)^2 - 2*sinα*sinβ + (cosα)^2 + (cosβ)^2 - 2*cosα*cosβ
         = (sinα)^2 + (cosα)^2 + (sinβ)^2 + (cosβ)^2 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ
         = 1 + 1 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ
结合这两个公式,我们可以得到：
2 - 2 *cos(α-β) = 2 - 2*sinα*sinβ - 2*cosα*cosβ
∴ cos(α-β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ 
上面是两角差的余弦公式.两角和的余弦公式如下：
 cos(α+β) = cos(α - (-β))
                = cosα*cos(-β) + sinα*sin(-β)
∵ cos(-β) = cosβ,sin(-β) = - sinβ
∴ cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβ