题目

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求B；
（2）设b＝2

3

，a+c＝6，求△ABC的面积．

提问时间：2020-10-11

答案

（Ⅰ）由正弦定理得：（2a-c）cosB=bcosC⇒（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC…（2分）
即：2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA…（4分）
在△ABC中，0＜A＜π∴sinA≠0∴cosB＝

1

2

，又0＜B＜π，∴B＝

π

3

．               …（6分）
（Ⅱ）因为b＝2

3

，a+c＝6，
由余弦定理得：12=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac…．．（8分）
则ac=8…．．（10分）
∴S△ABC＝

1

2

acsinB＝

1

2

•8•

3

2

＝2

3

．                     …．．（12分）

（Ⅰ）通过正弦定理以及三角形的内角和化简已知等式，求出cosB的值，即可求解．
（Ⅱ）通过已知条件，利用余弦定理求出ac的值，然后求解三角形的面积．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．