题目

齐次微分方程的综合应用
已知一曲线经过（1,2）,且曲线上任意一点（x,y）处切线的斜率等于该点纵坐标与横坐标之比的相反数,求：（1）该曲线所满足的方程.（2）该曲线与直线x=1,y=4所围成平面图形的面积.（3）计算（2）中平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

提问时间：2020-10-11

答案

（1）设该曲线所满足的方程f（x）,则f（1）=2,f′（x）=-y/x.(1)
解微分方程（1）得 f（x）=2/x.
故该曲线所满足的方程是 f（x）=2/x.
（2）该曲线与直线x=1,y=4所围成平面图形的面积=
=∫（0,1/2)4dx+∫（1/2,1）2/xdx （注：∫（a,b)表示从a到b积分）
=4×1/2+2（0+ln2）
=2（1+ln2）.
（3）（2）中平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积=
=π∫（0,1/2)4²dx+π∫（1/2,1）（2/x）²dx
=16π×1/2+4π（2-1）
=8π+4π
=12π.