题目

已知x=

n+1 − n

n+1 + n

，y=

n+1 + n

n+1 − n

，且19x²+123xy+19y²=1985．试求正整数n．

提问时间：2020-10-10

答案

化简x与y得：x=(

n+1

−

n

)2，y=(

n+1

+

n

)2，
∴x+y=4n+2，xy=1，
∴将xy=1代入方程，化简得：x²+y²=98，
∴（x+y）²=100，
∴x+y=10．
∴4n+2=10，
解得n=2．

首先化简x与y，可得：x=（

n+1

−

n

）²=2n+1-2

n(n+1)

，y=2n+1+2

n(n+1)

，所以x+y=4n+2，xy=1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．

本题考点：二次根式的混合运算．

考点点评：此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．