题目

在直角三角形中,ac=3,bc=4,ab=5,点p为三角形内切圆上任意一点求pa2+pb2+pc2的最小值

提问时间：2020-10-10

答案

解:以C为原点,CA为X轴,CB为Y轴建立直角坐标系.
A(0,3),B(4,0),C(0,0)
AB的方程为: x/4+y/3=1
3x+4y-12=0
设内切圆圆心坐标为(x,y).
|-(3x+4y-12)/5|=x=y
解得 x=1,y=1 (x=6 y=6 不合题意,舍去)
内切圆的方程为: (x-1)^2+(y-1)^2=1
x^2+y2-2x-2y+1=0 (1)
设P点坐标为(X,Y)
PA^2=x^2+(y-3)^2
PB^2=(x-4)^2+y^2
PC^2=x^2+y^2
PA^2+PB^2+PC^2=x^2+(y-3)^2+(x-4)^2+y^2+x^2+y^2
=3x^2+3y^2-8x-6y+25 (2)
=3(x^2+y^2-2x-2y+1)-2x+22
=22-2x
x最大时此式有最小值
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