题目

存在斜率且过点P(-1,-b/a)的直线l与双曲线x^2-y^2=1有且仅有一个公共点,且这个公共电视双曲线的左顶点
求双曲线实轴长.

提问时间：2020-10-10

答案

因为它过点P且又有公共点(-a,0),所以这条直线唯一确定,可由过这两个点把直线方程写出来：
y={b/[a(1-a)]}x+b/(1-a)
将上式与双曲线方程联立并消去y可得：
{b^2/[a^2*(1-a)^2]}x^2+{2b^2/[a(1-a)^2]}x+b^2/[(1-a)^2]+1=0
令判别式等于0,可得到一个a与b的关系式,有两种情况,一种是相切,一种是与双曲线的一支有一个不相切的交点,应该按后者取舍.
加上c^2=a^2+b^2
也只有两个关系式,少了一个.
所以按理说斜率应该是已知的,这样就会再多一个关系式,从而解得a、b、c的值.