题目

已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（

2

-1），求椭圆方程．

提问时间：2020-10-10

答案

∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0），
设短轴的两个端点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，连结AF₂、BF₂．
∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，
∴AF₂⊥BF₂，
根据椭圆的对称性得到△ABF₂是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F₂|．
∴b=c，即

a2−c2

=c…①，
又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4（

2

-1），
∴a-c=4（

2

-1）…②，
联解①②可得a=4

2

，c=4，可得a²=32，b²=c²=16
所求椭圆的方程为

x2

32

+

y2

16

＝1．

设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0），根据题意利用椭圆的对称性得到b=

a2−c2

=c且a-c=4（

2

-1），两式联解得到a、c之值，进而算出a²=32、b²=16，可得椭圆的方程．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．