题目

1.已知圆C过点(2,1)且与两条坐标轴均相切,则圆C的方程为____
2.已知圆C x^2+y^2-2x-4y-m^2+2m+1=0当m为何值时,圆C的半径最小?最小值是多少?

提问时间：2020-10-09

答案

1、圆与两条坐标轴均相切,说明圆到两坐标轴的距离都等于半径,再进一步说,就是：圆心在两坐标轴的夹角平分线(y=±x)上.而且还可知,整个圆只能落在某一个象限,不能分散在多个象限.
又因为圆过点(2,1),结合上面的分析,得出：
整个圆在第一象限,圆心在y=x上.
所以可设圆心为(m,m),m>0,则圆的半径也为m,从而写出圆的方程为
(x-m)²+(y-m)²=m²
将点(2,1)的坐标代入,化简得
m²-6m+5=0
可求得m=1或5,故所求的圆方程为
(x-1)²+(y-1)²=1或(x-5)²+(y-5)²=25
2、圆C的方程可化为 (x-1)²+(y-2)²=m²-2m+4
圆的半径r=√(m²-2m+4)=√[(m-1)²+3]
当m=1时,圆的半径最小,最小值是√3