题目

∀x(P(x) ↔ Q(x)) 和 ∀x P(x) ↔ ∀xQ(x)证明是否逻辑等价

提问时间：2020-10-09

答案

不等价.
　　从字面上来理
（1）前者表示：对任意一个x,P和Q等价；即：P和Q要么同为真,要么同为假.
（2）后者表示：“P对任意x都成立”,和“Q对任意x都成立”等价.即：当P和Q之中,有一个对所有x都成立时,另一个也对所有x都成立；换言之,当其中一个不能保证对所有x都成立时,另一个也将不能保证对所有x都成立.
　　由此可见,命题（1）对x的每一个实例,都要求P和Q等价；而命题（2）只是对P和Q的整体——即当它们对所有x“都”成立时——进行讨论,只要求整体等价：其中一个“都成立”时,则另一个“也都成立”；而其中一个“整体不都成立”时,则另一个“只需要整体不都成立即可”,并不要求对x的每个实例都对应成立或不成立.
　　举个例子：一台复杂的机器,由许多零部件组成,我们用x代表每一个零部件.设谓词：
P（x）：部件x是合格品,即该部件本身是没有问题的；
Q（x）：部件x装入机器后,x可以正常运行；
　　相信你也知道,一台机器,部分模块可以正常运行,不代表它整体可以正常运行.同样,一个部件本身没问题,也不代表它可以在机器上正常运行——它还受其他部件的影响.所以,对于本例,命题（1）是假命题.
　　但我们也应该相信：当所有部件都是合格品时,将它们（正确）组装后,它们也一定都可以正常运行,即整部机器可以正常工作；反之,当组装后的各个部件都可以正常运行,也足以说明每个部件都是合格品.所以,对于本例,命题（2）是真命题.
　　虽然这个例子还不够一般化,但足以说明这两个命题是不等价的.其实,命题（1）是命题（2）的充分不必要条件；即：（1）可以推出（2）,但（2）不能推出（1）.
　　要说严格的证明方法,因为量词的关系,用公式很难直接推出最终结果.不过它可以起辅助作用,利用公式转换出的某种形式,可以帮助我们理解这两个命题.但用反例法就很简单了：
　　设x∈｛1,2｝,那么：
当P（1）＝0、P（2）＝1、Q（1）＝1、Q（2）＝0时：
　　命题（1）为假,而命题（2）为真.