题目
高中数学题
已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx,g(x)=(a+1)x,其中a属于R,且a≠-1, (1)若两个函数在区间〔1,2〕上都是单调函数且单调性相同,求a取值范围 (2)设H(x)=f(x)-g(x),若α,β(α<β且β属于(1,e])是函数H(x)的两个极致点,证明:对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|<1成立(参考值e=2.71828)
已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx,g(x)=(a+1)x,其中a属于R,且a≠-1, (1)若两个函数在区间〔1,2〕上都是单调函数且单调性相同,求a取值范围 (2)设H(x)=f(x)-g(x),若α,β(α<β且β属于(1,e])是函数H(x)的两个极致点,证明:对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|<1成立(参考值e=2.71828)
提问时间:2020-10-09
答案
析:f(x)=(x^2/2)+alnx的导数为(x^3+a)/x
(1)由于g(x)=(a+1)x为一次函数,先从g(x)的单调性入手:
在区间〔1,2〕上,当a>-1时g(x)递增,此时x^3+a>0即f(x)的导数>0,f(x)也递增,成立;
当a<-1时g(x)递减,此时去寻找使得f(x)递减的a的值,即即(x)的导数<0的a的值,即x^3+a<0恒成立的a的值,即a<-x^3在区间〔1,2〕上恒成立的a的值,所以a≤-8
综上所述,当a≤-8或a>-1时满足要求.
(2) H(x)=f(x)-g(x)=)=(x^2/2)+alnx-(a+1)x,则 H(x)的导数为(x^3+a-ax-x)/x
=(x-1)(x^2+x-a)/x,由于若α,β为H(x)的两个极值点,且0<α<β,所以只有α=1,
且β为方程x^2+x-a=0的那一个正根(另一根必为负,舍去)当x∈(α,β)时,H(x)单调递减,当x∈(β,+∞)时H(x)单调递增,
所以对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|≤H(α)-H(β)(重要的转化!)=H(1)-H(β)
下面只需要证明H(1)-H(β)<1即可
(1)由于g(x)=(a+1)x为一次函数,先从g(x)的单调性入手:
在区间〔1,2〕上,当a>-1时g(x)递增,此时x^3+a>0即f(x)的导数>0,f(x)也递增,成立;
当a<-1时g(x)递减,此时去寻找使得f(x)递减的a的值,即即(x)的导数<0的a的值,即x^3+a<0恒成立的a的值,即a<-x^3在区间〔1,2〕上恒成立的a的值,所以a≤-8
综上所述,当a≤-8或a>-1时满足要求.
(2) H(x)=f(x)-g(x)=)=(x^2/2)+alnx-(a+1)x,则 H(x)的导数为(x^3+a-ax-x)/x
=(x-1)(x^2+x-a)/x,由于若α,β为H(x)的两个极值点,且0<α<β,所以只有α=1,
且β为方程x^2+x-a=0的那一个正根(另一根必为负,舍去)当x∈(α,β)时,H(x)单调递减,当x∈(β,+∞)时H(x)单调递增,
所以对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|≤H(α)-H(β)(重要的转化!)=H(1)-H(β)
下面只需要证明H(1)-H(β)<1即可
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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