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题目
若不等式
3x2+2x+2
x2+x+1
≥m对于任意的实数x均成立,求自然数m的值.

提问时间:2020-10-09

答案
不等式
3x2+2x+2
x2+x+1
≥m对于任意的实数x均成立,等价于(m-3)x2+(m-2)x+m-2≤0对于任意的实数x均成立.
m=3时,x+1≤0,∴x≤-1,不满足题意;
m≠3时,
m−3<0
(m−2)2−4(m−3)(m−2)≤0
,∴m≤2,
∴自然数m的值为0,1,2.
不等式
3x2+2x+2
x2+x+1
≥m对于任意的实数x均成立,等价于(m-3)x2+(m-2)x+m-2≤0对于任意的实数x均成立,分类讨论,利用根的判别式即可求得m的取值范围.

函数恒成立问题.

本题考查二次函数在R中的恒成立问题,可以通过判别式法予以解决,也可以分离参数m,分类讨论解决

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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