题目

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f(1)＝

5

2

、f(2)＝

17

4

．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

提问时间：2020-10-08

答案

（1）∵f（x）=2^x+2^ax+b，且f(1)＝

5

2

、f(2)＝

17

4

，
∴

2+2a+b＝ 5 2 22+22a+b＝ 17 4

即

a+b＝−1 2a+b＝−2

，
解得：

a＝−1 b＝0

；
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）为偶函数．

（1）直接根据f(1)＝

5

2

、f(2)＝

17

4

建立方程组，然后根据指数方程的求解方法可求出a、b的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，然后求出函数的定义域，看其是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义进行判定即可．

本题考点：函数奇偶性的判断．

考点点评：本题主要考查了指数方程的求解，以及函数奇偶性的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．