题目

△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点 DE⊥DF E是AC上的任意点 F是BC上的任意点求证:EF平方=AE平方+BF平方
△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,E是AC上的任意点,F是BC上的任意点.
求证:EF平方=AE平方+BF平方

提问时间：2020-10-08

答案

解一:
证明:
以D为圆点,DB为半径,将DB边逆时针旋转180度,此时BD边和AD边重合
B点和A点重合,记F点旋转到F'
∴AF'=FB,DF=DF',∠ADF'=∠FDB
∵D是AB边的中点,
∴此时B点和A点重合
∵Rt△ABC中,∠C是Rt角
∴∠A和∠B互余
∴∠CAF'=90度
∴在Rt△AEF'中,AE方+F'B方=EF'方
∵DF=DF',且∠ADF'=∠FDB
∴ED垂直平分FF'
∴EF=EF'
∴AE方+AF'方=AE方+FB方=EF'方=EF方
命题得证
解二:
连接EF、DE、DF.作辅助线CD
证明△ADE全等于△CDF
因为∠EAD=∠FCD=45 AD=CD ∠EDA=∠FDC
所以△ADE全等于△CDF
所以AE=CF 又因AC=BC 所以CE=BF
因为CF的平方+CE的平方=EF的平方
所以AE的平方+BF的平方=EF的平方