题目

焦点在x轴上,对称轴为两坐标轴的椭圆短轴长为4,该椭圆截直线x+2y=4所得的弦长为2根号5,求椭圆的方程

提问时间：2020-10-08

答案

这种题不难,但计算时要注意技巧
短轴 = 2b =4→b=2
焦点在x轴上,对称轴为两坐标轴 那么设椭圆标准方程为 x^2/a^2+y^2/4=1
即 4x^2+a^2*y^2 = 4a^2 将 x = 4-2y代入.(简化计算量,用y=(4-x)/2带入很繁琐)
4(2(2-y))^2+a^2y^2 = 4a^2
→(16+a^2)y^2-64y+4(16-a^2) =0
又弦长 = √[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[4(y1-y2)^2+(y1-y2)^2=|y1-y2| *√ 5=2√ 5
即 (y1-y2)^2 =4 |y1-y2|=2
(y1-y2)^2 =(y1+y2)^2-4y1y2=[64^2-16(16+a^2)(16-a^2)]/(16+a^2)^2
=16[4*64-256-a^4]/(16+a^2) ^2 [千万不要把64^2乘出来,不然很麻烦.这是计算技巧]
→16a^4/(16+a^2)^2 = 4
→a^2/((16+a^2) = 2 →a^2 =16
所以,最后答案为 x^2/16+y^2/4=1