题目

若 0≤x≤2π，

1+2sin2x

=sinx+cosx，则x的取值范围是（　　）
A. [0，π]
B. [

π

4

，

5π

4

]
C. [

π

2

，

3π

4

]∪[

5π

4

，2π]
D. [0，

3π

4

]∪[

7π

4

，2π]

提问时间：2020-10-08

答案

∵1+2sin2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x=(sinx+cosx)2=|sinx+cosx|=sinx+cosx，∴sinx+cosx≥0，即2sin（x+π4）≥0，∵0≤x≤2π，∴π4≤x+π4≤9π4，∴π4≤x+π4≤π或2π≤x+π4≤9π4，解得：0≤x≤3π4或7π4≤x...

已知等式左边被开方数利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用完全平方公式及二次根式的性质化简，得到sinx+cosx≥0，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的性质确定出x的范围即可．

本题考点：同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握基本关系是解本题的关键．