题目

求函数f（x）=lnx-ax+1/2x^2的单调区间
1/2乘x的平方

提问时间：2020-10-08

答案

f(x)=lnx-ax+1/2x^2
f(x)=lnx-ax+(x^2)/2
f'(x)=1/x-a+x
令：f'(x)＞0,即：1/x-a+x＞0
1、当x＞0时,x^2-ax+1＞0
{x-[a+√(a^2-4)]/2}{x-[a-√(a^2-4)]/2}＞0
有：x1＞[a+√(a^2-4)]/2、x2＞[a-√(a^2-4)]/2…………(1)
或：x1＜[a+√(a^2-4)]/2、x2＜[a-√(a^2-4)]/2…………(2)
由(1)得：x＞[a+√(a^2-4)]/2
由(2)得：x＜[a-√(a^2-4)]/2
注意到x＞0,f(x)单调增区间是：x∈([a+√(a^2-4)]/2,∞)∪(0,[a-√(a^2-4)]/2)
2、当x＜0时,x^2-ax+1＜0
{x-[a+√(a^2-4)]/2}{x-[a-√(a^2-4)]/2}＜0
有：x1＞[a+√(a^2-4)]/2、x2＜[a-√(a^2-4)]/2…………(1)
或：x1＜[a+√(a^2-4)]/2、x2＞[a-√(a^2-4)]/2…………(2)
由(1)可见,矛盾,无解
由(2)得：[a-√(a^2-4)]/2＜x＜[a+√(a^2-4)]/2
注意到x＜0,而上述结果要求x＞[a-√(a^2-4)]/2＞0.
因此,当x＜0时,无解.
综上所述：
当x＞0时,f(x)单调增区间是：x∈([a+√(a^2-4)]/2,∞)∪(0,[0,a-√(a^2-4)]/2)
同理,再令：f'(x)＜0,即：1/x-a+x＜0
由此,可以求出f(x)的单调减区间.
这个问题,就留给楼主做练习吧.一点都不难,仿照上面给出的方法去做就行了,只是需要细心与耐心.