题目

圆锥曲线(椭圆)
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(0,√2),且长轴长与短轴长的比是√2：1
(1)求椭圆的方程.
(2)过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证：直线AB的斜率为定值.
(3)求三角形PAB面积的最大值.
P是椭圆上横坐标为1的第一象限内的点。

提问时间：2020-10-08

答案

(1)求椭圆方程
由已知可得
a:b=√2：1
a²=b²+(√2)²
解得a²=4,b²=2
∴椭圆方程为x²/2+y²/4=1
(2)证：直线AB的斜率为定值.
由已知,P点坐标为（1,√2）,若PA的斜率为k,那么PB的斜率为-k.其方程分别为：
y=k(x-1)+√2； y=-k(x-1)+√2,
分别代入椭圆方程,得：
(k²+2)x²-(2k²-2√2k)x+(k²-2√2k-2)=0
(k²+2)x²-(2k²+2√2k)x+(k²+2√2k-2)=0
由于x=1是以上两个方程的解,所以将这两个方程分解因式得
(x-1)[(k²+2)x-(k²-2√2k-2)]=0
(x-1)[(k²+2)x-(k²+2√2k-2)]=0
所以x1=(k²-2√2k-2)/(k²+2),x2=(k²+2√2k-2)/(k²+2)
所以直线AB的斜率为：
(y2-y1)/(x2-x1)
=[-k(x2-1)+√2-k(x1-1)-√2]/(x2-x1)
=[2-(x1+x2)]k/(x2-x1)
=[2-2(k²-2)/(k²+2)]k/[2*2√2k/(k²+2)]
=[2-2(k²-2)/(k²+2)]k/[2*2√2k/(k²+2)]
=√2
直线AB的斜率为定值√2得证.
(3)求三角形PAB面积的最大值
令A点坐标为(√2cosa,2sina),直线AB方程为y-2sina=√2(x-√2cosa),
P到AB的距离PD为|√2-√2+2sina-2cosa|/√3=(2/√3)*|sina-cosa|
AB的距离为|x1-x2|*√(1+k^2)=√3*|x1-x2|,
把方程y-2sina=√2(x-√2cosa),代入椭圆方程,得
x^2+√2(sina-cosa)-2sinacosa=0,
x1=√2cosa,x2=-√2sina
于是PAB的面积=(1/2)*|PD|*|AB|
=(1/2)*√3*√2|sina+cosa|*(2/√3)|sina-cosa|
=√2|sina^2-cosa^2 |,
所以面积最大值为√2.
经验之谈：在涉及到椭圆的求最大值、最小值问题,一般把椭圆用参数方程表示是捷径,甚至在高中范围内是唯一方法.