题目
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC
于点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．
于点E．（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．
提问时间：2020-10-08
答案
（1）证明：如图，连接OC，∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分线．
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴DC2=DB•DA，即42=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴
| OC |
| AE |
| DO |
| DA |
即
| 3 |
| AE |
| 5 |
| 8 |
解得AE=
| 24 |
| 5 |
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴
| CB |
| AC |
| DC |
| DA |
| 4 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，即（2BC）2+（BC）2=62
解得BC=
6
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