题目

已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx(a属于R) 急求!
1,若曲线y＝fx与曲线y＝gx相交,且在交点处有相同切线,求a的值及该切线的方程
2,设函数hx＝fx－gx,hx存在最小值时,求最小值解析式

提问时间：2020-10-07

答案

1,f'(x)=(1/2)x^(-1/2),g'(x)=a/x
在交点处有以下两个式子
根号x=alnx,（1）
(1/2)x^(-1/2)=a/x （2）
解得a=e/2,此时x=e^2
或a=-e/2,此时x=e^2,不符合第二个式子,舍去
所以a=e/2,此时x=e^2
切线过点（e^2,e),斜率为1/(2e)
切线的方程为y-e=1/(2e)(x-e^2) 即y=1/(2e)x+(1/2)e
2,求函数h（x）＝f（x）－g（x）的导数
h’（x）＝f‘（x）－g’（x）=(1/2)x^(-1/2)-a/x
由(1/2)x^(-1/2)-a/x=0得
x=4a^2
若h（x）存在最小值,则最小值是h（4a^2）=根号（4a^2）-aln（4a^2）